编者的话

　　1月13日，我们发表了北京第二实验小学副校长华应龙老师的文章《有“化错”，才有真正的学习》。华老师认为，“化错教学”是破解“标准化”教育模式，培育良性教育生态的需要，是矫正重“结果”，轻“过程”教学弊端的需要。那么，在实际教学中，如何运用呢？今天，我们就呈现华老师的课堂现场，感悟华老师是如何将错误的尝试最终引向正确的结果，让学生体悟到“失败是成功之母”。

　　【课前慎思】

　　学生在作业中经常会生成一些非常可贵的猜想，可是，往往是想到就用，不去验证。有时碰巧对了，我会鼓励他们坚守自己的猜想，因为如果不继续做全面、深入地思考和探究，下次遇到似是而非的情景或者跨过一定界限，就会错得糊里又糊涂。有时碰巧错了，如果得不到恰当的引导，创新的火花便从此渐渐熄灭。其实，错误往往是创造的开始。

　　作为教师，在学生猜想之后又应该做些什么？数学事实首先是被猜想然后是被证实，那么，学生学习数学的过程就应该是被看作在做猜想和验证的游戏。著名数学家、教育家G·波利亚在他的经典名著《数学与猜想》中指出：“在数学领域中，猜想是合理的，值得尊敬的，是负责任的态度。请允许我在此向教授所有班级的数学教师们呼吁：让我们教猜想吧！”他给我们的忠告是：“尽早建立猜想，慢些承认它们。”

　　一般地，不能根据一个例子就做出判断。无论举出多少正例都不能完全确定结论的绝对正确性，而只要举出一个反例，就可以说明结论的错误。所以，这节课想借助学生作业中的一些创造性猜想的讨论，让学生明白猜想其实就是提出了一个问题，一个假设，有理由较少的猜想，有理由较多的猜想；猜想之后需要验证。举的例子首先要判断是否蕴含在假设之中，验证之后，可能是确认猜想，也可能是要修正猜想。

　　那么，验证的方法有哪些呢？举正例，找反例，打比方想算理？除了初中将开始学习的演绎证明，还有小学五年级学生能接受的验证方法吗？“穿新鞋走老路”算不算？也就是有了一个新的猜想，验证时是走业已确认的老路，最后看是否是殊途同归。那“穿新鞋走老路”算举例子，还是讲道理呢？

　　对学生而言，举出一个反例来证明结论的错误是有经验的，也是容易理解的。而对于举出很多正确的例子还未必能证明结论的正确性，是比较难以理解的。因此本节课，毫无疑问要在这方面用力。举的例子不可能穷尽的话，从哪里知道就举不出反例呢？当学生懂得了多个例子也不能确定猜想的绝对正确性，是否就给学生种下了怀疑所学知识的种子，给学生的创造留下了余地？

　　我在故我思。好奇心是最好的老师，那么，最高的学习是不是应该是求不知？

　　因此，我想和五年级学生一起分享这一节课，力争达到以下目标：1.懂得猜想之后要验证，初步学会验证的方法。2.进一步体认差错会暴露出问题、指引方向，培养对作业差错的好感。3.感受数学的理性之美，积累发现数学的经验。

　　【课堂实录】

　　师：前几天我在同学们作业本上发现了两个很有意思的猜想。我跟老师们交流之后，老师们说“以前也见过，很有意思！”因此，我今天拿过来和在座同学们分享，大家请看——

　　（板书学生的作业。）

　　25.3×4.2

　　=25×4+0.3×0.2

　　=100+0.06

　　=100.06

　　看了这份作业，你有什么想法，你怎么来评价？

　　（有一学生一脸惊喜：“原来还可以这样做！”）

　　生：我想这个25.3乘4.2，我觉得可以把它变一下，可以把它写成25加上0.3的和，再乘以4加上0.2的和。这样的话，就等于25乘4再加上0.3乘0.2，等于100加0.06，就等于100.06。

　　生：我觉得这个算得不是特别对，因为我假设如果25.3不乘以4.2，而乘的是4，那样的话，积应该是101.2，这样都比100.06大。而现在25.3乘4.2，4.2比4还要大，所以这个答案肯定是不对的。

　　师：看了这个解答，你最好奇的是哪一步？

　　生：怎么从25.3乘以4.2一下子变成25×4+0.3×0.2了？

　　师：是不是从这儿我们可以看出他有一个猜想？

　　生：我觉得他的猜想是两个数的乘积等于两个数的整数部分乘积加上小数部分的乘积。

　　师：这个猜想究竟对不对？有人认为对，有人认为不对，怎么办？

　　生（齐）：验证。

　　师：怎么去验证？

　　生（齐）：用竖式算一遍。

　　师：真好！（示意大家动笔算。）很多同学都算完了，你发现了什么？

　　生：算完了以后，发现黑板上这个答案是错误的。

　　师：不但是错了，而且还是小了。我很好奇，他当时是怎么想的？

　　生：我觉得他是这么想的，先把两个整数乘了，再把两个小数乘了，对他来说思路就比较清晰。

　　师：思路比较清晰！清晰在于——我们做小数加法的时候，是不是这么想的？（课件逐步出示以下算式）